Abbildung 4: Q-Q-Plot für die Logarithmen ln(C_r,<1>) der Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226 und U-238 und Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R²(_Ln)

5.4 Vereinfachte Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen UL_r

5.5 Schätzung der Verteilungsparameter der gestörten Lognormalverteilung C_r~ C_r + Ln(μr; σr)

Abbildung 5: Schätzung des Untergrundwertes c_R durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R²(c) für U-238 (Messwerte aus Tabelle 5)

Abbildung 6: Schätzung des Untergrundwertes c_S durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für U-238 (Messwerte aus Tabelle 5)

Abbildung 7: Schätzung des Untergrundwertes c_R durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R²(c) für Ra-226 (Messwerte aus Tabelle 5) 

Abbildung 8: Schätzung des Untergrundwertes c_S durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für Ra-226 (Messwerte aus Tabelle 5)

Abbildung 9: Q-Q-Plot für die Logarithmen ln(C_r,<1> - C_r) der Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226 und U-238 und Berechnung des Bestimmtheitsmaßes R²(_Ln)mit den Schätzwerten für den konstanten Untergrund von C_U238 = 0,08 Bq/g und C_Ra226= 0,09 Bq/g

5.6 Ausreißertest

5.7 Berechnung oberer Konfidenzgrenzen UL_r zum Erwartungswert spezifischer Aktivitäten und Vergleich des Maximalwertes C_U238max mit der Überwachungsgrenze

Tabelle 6: Berechnung der oberen Konfidenzgrenzen E_r^(n;P) (n = 20; P = 0,95) zum Erwartungswert der lognormal verteilten Anteile "C_r - C_r" der Messwerte zur spezifischen Aktivität

5.8 Berechnung unterer Konfidenzgrenzen LL_r zum Erwartungswert spezifischer Aktivitäten und Vergleich der Testgröße C_LU238max mit der Überwachungsgrenze

Tabelle 7: Berechnung der unteren Konfidenzgrenzen E_r^(n;1-P) (n = 20; P = 0,95) zum Erwartungswert der lognormal verteilten Anteile "C_r - C_r" der Messwerte zur spezifischen Aktivität

5.9 Prognose zur Erhöhung des Stichprobenumfangs

5.10 Messungen für den erhöhten Stichprobenumfang

Abbildung 10: Aktivitätsrelation C_U238/C_Ra226für die 20 Messwertpaare aus Tabelle 4

Tabelle 8: Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226 der ergänzten Stichprobe vom Umfang n = 80 (20 Messwerte der ursprünglichen Stichprobe fett hervorgehoben); Angaben in Bq/g

5.11 Überprüfung der Verteilungsart für die ergänzte Stichprobe

5.12 Vereinfachte Schätzung der oberen Konfidenzgrenze U_LRa226für die ergänzte Stichprobe

5.13 Genauere Berechnung der oberen Konfidenzgrenze U_LRa226

Abbildung 11: Schätzung des Untergrundwertes c_R durch Bestimmung des Maximums des Bestimmtheitsmaßes R²(c) für Ra-226 (79 Messwerte ohne C_Ra226,<80>)

Abbildung 12: Schätzung des Untergrundwertes cs durch Bestimmung des Nulldurchgangs der Schiefe S(c) für Ra-226 (79 Messwerte ohne C_Ra226<80>)

Tabelle 9: Berechnung der oberen Konfidenzgrenzen E_r^(n;P)(n_r = 79; P = 0,95) zum Erwartungswert des lognormal verteilten Anteils "C_r - C_r" der Messwerte zur spezifischen Aktivität von Ra-226

6 Literatur

Anhang A Hinweise zur Messung der spezifischen Aktivität von Rückständen 

Tabelle A1: Auswertung der Expertenbefragung zu Messunsicherheiten der γ -spektrometrischen Bestimmung der spezifischen Aktivität von Radionukliden im Bereich der Überwachungsgrenzen

Anhang B Vereinfachte Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert normal und lognormal verteilter Zufallsgrößen 

B.1 Grundlegende Beziehungen aus der Ordnungsstatistik

B.2 Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert bei Normalverteilung

B.3 Schätzung von Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert bei Lognormalverteilung

B.3.1 Berechnungen bei bekanntem σ

Tabelle B1: Ordnungszahlen k und Wichtungskoeffizienten a zur vereinfachten Schätzung von oberen Konfidenzgrenzen für den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsgröße X entsprechend Gleichung (B12) für die Stichprobenumfänge n = 6(2)30(10)100; P = 0,95

Abbildung B1: Verlauf der Wahrscheinlichkeiten Pr(x_<n-i> ≥ E ｜ σ ) in Abhängigkeit vom Wert des Parameters σ der Lognormalverteilung X ~ Ln(μ ,σ ) für den Stichprobenumfang von n = 20

B.3.2 Anwendung der Bayes-Statistik

B.3.3 Wahl eines geeigneten Schätzers s_n für σ

Abbildung B2: Verteilungsdichte f(s_{20 ｜} σ = 1) im Vergleich zu f(a_{20 ｜} σ = 1)

B.3.4 Berechnung der Verteilungsdichte f(s_n ｜ σ )

B.3.5 Posterior-Verteilung für a bei gemessenem Wert von s_n

B.3.6 Wahrscheinlichkeiten Pr(x_<n-i> ≥ E ｜ s₂₀)

Abbildung B3: Verteilungsdichten f(s_n ｜ σ = 1) für n = 10(10)100 (mit zunehmendem Stichprobenumfang n konzentrieren sich die Kurven immer schärfer um den Wert 1)

Abbildung B4: Posterior-Verteilungsdichte Φ(σ ｜ 1 s₂₀) für s₂₀= {0,5; 1; 2}

Abbildung B5: Posterior-Verteilungsfunktion φ(σ ｜ s₂₀) für s₂₀ = {0,5; 1; 2}

B.3.7 Kritische Werte S_n;i

B.3.8 Schritte zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert

Abbildung B6: Verlauf der Wahrscheinlichkeiten Pr(x_<n-i> ≥ E ｜ s₂₀) in Abhängigkeit vom Wert des für die Stichprobe (n = 20) gemessenen Wertes s₂₀

Tabelle B2: Kritische Werte S_n;i und Perzentile k_(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E; Stichprobenumfänge n = 6(2)30; P = 0,95

Tabelle B3: Kritische Werte S_n;i und Perzentile k_(n-1)/n, der Standardnormalverteilung zur einfachen Schätzung oberer Konfidenzgrenzen zum Erwartungswert E; Stichprobenumfänge n = 10(10)100; P = 0,95

B.4 Literatur

Anhang C Schätzung der Parameter von normal und lognormal verteilten Zufallsgrößen 

C.1 Schätzung der Parameter μ und σ für ungestörte Verteilungen

C.2 Schätzung der Parameter μ und σ bei Unterschreitungen von Erkennungsgrenzen

Tabelle C1: Koeffizienten λ_j,kder Approximation (C25) für von 0 ≤; α ≤; 0,5 und 0 ≤; β ≤; 1

C.3 Identifikation von Ausreißern

Abbildung C1: Abhängigkeit des Parameters λ von β = s²/(X -x*)² für Werte α = n*/n von 0,05(0,05)0,50

Abbildung C2: Abhängigkeit des Parameters λ von α = n*/n für β = s²/(X -x*)2 = {0,0; 0,5; 1,0}

C.4 Schätzung des Untergrundwertes c für gestörte Lognormalverteilungen

Tabelle C2: Kritische Werte g_n;a für den G_RUBBS-Ausreißertest für Stichprobenumfänge n von 5 bis 100 für die Irrtumswahrscheinlichkeiten α = 0,01 und α = 0,05; aus [C1]

Abbildung C3: Q-Q-Plot für die ungestörte Stichprobe {y_<1>}_n, (C34) aus einer Lognormalverteilung und für die durch einen Untergrund von c = 50 gestörte Probe {z}_n = {c + y_<1>}_n